COMPITO DI MATEMATICA

CLASSE 4D – 14 novembre ’02

1) LE EQUAZIONI

i.

ii. si trasforma in da cui

iii. da cui

soluzioni:

iv. chiamando abbiamo l’equazione da cui

2) LE DISEQUAZIONI

i.

da cui

ii. risulta

3) IL PROBLEMA

Un quadrilatero ABCD ha i tre angoli , e di uguale ampiezza. Calcola le funzioni trigonometriche (seno, coseno e tangente) dell’angolo , sapendo che . A priori cerca di costruire, basandoti su una costruzione grafica degli angoli, il quadrilatero. A posteriori controlla se il quadrilatero costruito rispetta i risultati trovati, facendo le dovute osservazioni sulla costruzione e i commenti necessari.

in giallo è rappresentata l’ampiezza dei tre angoli uguali.

Per determinare l’ampiezza dell’angolo D, indicando con alfa l’angolo A, otteniamo

da cui quindi

a questo punto ne deduciamo che il segno “meno” è giustificato dal fatto che essendo gli angoli uguali tutti e tre minori di 90° , il quarto angolo è > 90° quindi il coseno è negativo.

quindi il disegno può essere

4) LE TRASFORMAZIONI

E’ data una trasformazione lineare (l’origine O è unita) che manda il punto in e il punto in .

a. Determina le equazioni della trasformazione e in base alle proprietà della matrice classifica la trasformazione.

La trasformazione cercata ha equazione ottenuta tramite la soluzione di semplici sistemi. La trasformazione è una rotazione in senso antiorario di 60°.

b. Mediante la trasformazione trovata, determina l’immagine della conica e in base al risultato, disegna la conica di partenza.

Invertendo la trasformazione si ottiene e sostituendo abbiamo e semplificando, otteniamo

c. Analizza la trasformazione di equazione , come sopra, deducendo in base alla matrice di quale trasformazione si tratta ( puoi avere informazioni utili trovando i punti uniti…); inverti la trasformazione. Cosa ottieni? Come motivi il risultato ottenuto?

La trasformazione ha la forma di una similitudine, ha determinante –1 quindi è indiretta ed equivalente quindi è una simmetria assiale. Se ricerchiamo i punti uniti otteniamo la retta , che è il nostro asse di simmetria. Invertendo la trasformazione otteniamo ancora la stessa trasformazione che è confermato dall’essere simmetria assiale per tornare al punto di partenza si applica due volte la stessa simmetria.

d. Trasforma ancora la conica al punto b. mediante la trasformazione al punto c. Cosa puoi osservare? Hai un contributo significativo per disegnare bene il grafico della conica? Perché? Commenti.

Trasformando la conica si ottiene ancora la stessa conica e questo sta a significare che l’asse di simmetria della trasformazione è anche asse della parabola. E’ ovvio che la parabola la posso disegnare partendo dalla y=x^2 e ruotandola di 60° in senso orario, ma conoscendo l’asse (inclinato di 30° rispetto all’asse x) posso fare il disegno più preciso.

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